SEDE BOGOTA

transformaciones lineales

Lección 5.

Producto y Suma Directa de Espacios Vectoriales

La operación producto cartesiano de la teoría elemental de conjuntos, aplicada a los espacios vectoriales, permite construir un espacio vectorial a partir de una familia dada de espacios. Esta lección esta dedicada a dicha construcción. Como consecuencia de ella, se probará la versión del Teorema 3 para espacios de cualquier dimensión.

Sean espacios vectoriales sobre el cuerpo , y sea el conjunto producto cartesiano, es decir,

$1\leq i\leq r\}$

El conjunto , denotado también por , tiene una estrucutra natural de espacio vectorial bajo las siguientes operaciones:

donde y $a\in K$ . se conoce como el espacio producto de los espacios . Nótese que $K^{n}\,$ es el producto cartesiano de espacios vectoriales iguales a .

Asociadas al espacio producto se tienen transformacions lineales conocidas como las proyecciones e inyecciones canónicas. Por cada $1\leq i\leq r$ se tiene una proyección canónica definida por

$\pi_{i}:$

Es obvio que $\pi _{i}$ es una tranformación lineal sobreyectiva. Las inyecciones canónicas se definen por:

Las inyecciones son transformaciones lineales inyectivas . Las proyecciones e inyecciones satisfacen las siguientes propiedades interesantes:

, , $1\leq i\leq r$

MATH

La construcción descrita en las líneas anteriores puede ser generalizada al caso de una familia infinita de espacios vectoriales. En efecto, sea $\{V_{i}\}_{i\in I}$ una familia de espacios vectoriales sobre un cuerpo , el producto cartesiano de dicha familia se define como el conjunto de todas las funciones de en la reunión , tales que $f(i)\in\,V_{i}$ , para cada $i\in I$ , es decir,

para cada $i\in I\}.$

Si se escribe $f(i)=f_{i}$ ,, entonces cada elemento se puede representar en la forma . El producto adquiere estructura de espacio vectorial respecto de las siguientes operaciones:

$a\in K.$

Las proyecciones y las inyecciones canónicas se definen de manera similar a como se hizo en el caso finito:

$\pi_{j}:$

donde

MATH

En el espacio producto se destaca como subespacio el conjunto de elementos $f=(f_{i})$ con $f_{i}=0$ para casi todo $i\in I$ ; este subespacio se denota por y puede definirse más exactamente de la siguiente forma: sea $f=(f_{i})$ un elemento de , el soporte $S_{f\text{ }}$ de se define como el subconjunto de elementos $i\in I$ tales que $f_{i}\neq 0$ ( para el elemento el soporte es vacío). Así pues,

es finito $\}.$

Nótese que efectivamente es un subespacio de , y se conoce como la suma directa externa de la familia $\{V_{i}\}_{i\in I}$ . Cuando es finito, .

Un caso particular de las construcciones anteriores se obtiene cuando todos los espacios $V_{i}$ de la familia dada coinciden y son iguales a $K^{1}=K$ , en tal caso se usa la siguiente notación: , . Si es finito de tamaño , entoces claramente .

Ya se está en capacidad de probar el Teorema 3 para espacios de cualquier dimensión.

Teorema 4. Sea un -espacio con base . Entonces $V\cong K^{(X)}$ .

Demostración

Corolario 3. Dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo son isomorfos si y sólo si sus dimensiones coinciden.

Demostración