SEDE BOGOTA

transformaciones lineales

Lección 5.

Producto y Suma Directa de Espacios Vectoriales

Teorema 4. Sea un -espacio con base . Entonces $V\cong K^{(X)}$ .

Demostración. En primer lugar se debe observar que $K^{(X)}$ tiene la siguiente base canónica:

, ,

donde

MATH

Las funciones

inducen de manera única transformaciones lineales y que coinciden con en y en , respectivamente (véase el Teorema 2 del presente capítulo). Las transformaciones $S\,T$ y $T\,S$ son tales que $S\,T\,(x)=x$ y $T\,S(e_{x})=e_{x}$ , para cada $x\in X$ . Nuevamente, por el Teorema 2, $S\,T=I_{V}$ y $T\,S=I_{K^{(X)}}$ . Esto indica que es un isomorfismo y la prueba ha terminado. $\Box$