SEDE BOGOTA

transformaciones lineales

Lección 5.

Producto y Suma Directa de Espacios Vectoriales

Corolario 3. Dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo son isomorfos si y sólo si sus dimensiones coinciden.

Demostración. Sean y dos -espacios isomorfos con isomorfismo $T:V\rightarrow W$ , y sea una base de , entonces es una base de que tiene la misma cardinalidad de . En consecuencia y tienen la misma dimension.

Recíprocamente, supóngase que $\dim (V)=\dim (W)$ . Sean , bases de y respectivamente. Existe una función biyectiva que induce una transformación lineal ; de igual manera induce una transformación lineal de tal forma que $TS=I_{W}$ y $ST=I_{V}$ , de donde, es un isomorfismo y, $V\cong W$ . $\Box$