SEDE BOGOTA

transformaciones lineales

Lección 6.

Suma Directa Interna de Subespacios

Proposición 5. Sea una colección finita de subespacios de un espacio con bases , respectivamente Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

b) es una base de y para cada $i\neq j.$

Demostración. $a)\Rightarrow b):$ Puesto que , entonces $V_{i}\cap V_{j}=0$ para cada $i\neq j$ , y en consecuencia, para cada $i\neq j$ . Puesto que y $X_{i}$ es una base para $V_{i}$ , entonces es claro que es un sistema de generadores para Sea un subconjunto finito de y tales que , entonces adicionando sumandos nulos mediante coeficientes nulos se puede escribir esta ecuación, sin pérdida de generalidad, en grupos de sumandos de tal forma que los primeros sumandos sean de $V_{1}$ , los siguientes sean de $V_{2}$ , etc, y los últimos sean de $V_{n}.$ Pero de acuerdo con la a), el vector nulo solo es representable mediante sumandos nulos, por lo tanto, cada grupo de sumandos es nulo y, puesto que en cada grupo aparecen combinaciones lineales de vecotres LI, entonces todos los coeficientes $a_{i}$ son nulos.

$b)\Rightarrow a):$ Puesto que es una base de , entonces

$V=\,<$

Sea ahora , con $v_{i}\in V_{i}$ , entonces se puede representar cada $v_{i}$ como combinación lineal de los vectores de $X_{i}$ de tal forma que se obtiene una combinación lineal de vectores de ; teniendo en cuenta que para cada $i\neq j$ , entonces en esta última no hay sumandos repetidos, lo cual, combinado con la de que es una base para se obtiene que todos los sumandos en tal representación son nulos, es decir, cada $v_{i}$ es nulo. Esto completa la prueba de a). $\Box$