SEDE BOGOTA

polinomio caracteristico

Lección 3.

Matrices Diagonalizables

Teorema 2. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio de dimensión finita $n\geq 1.$ Sean los valores propios diferentes para , $1\leq r\leq n$ , y los subespacios propios correspondientes. Entonces, las siguientes condiciones son equivalentes:

a) es diagonalizable.

b) El polinomio característico de es de la forma

donde

Demostración. a) $\Rightarrow$ b) Por el Teorema 1, tiene una base constituida por vectores propios. Se ordena esta base de tal manera que los primeros $d_{1}$ vectores correspondan al valor propio $a_{1}$ , los siguientes $d_{2}$ vectores correspondadn al valor $a_{2}$ y así sucesivamente. Entonces claramente la matriz de en esta base toma la forma

MATH

donde $a_{i}E$ es una matriz diagonal de orden $d_{i}$ ,

MATH

$1\leq i\leq r.$ Obviamente el polinomio característico de es .

Se verá ahora que Puesto que $gr(p_{T}(x))=n$ , entonces Por la forma como se ha organizado la base , se tiene que es decir, , luego, por la Proposición 4, Se sabe que para cada $1\leq i\leq r$ , supóngase que existe tal que , entonces

Esto indica que para cada $1\leq i\leq r.$

b) $\Rightarrow$ c)

c) $\Rightarrow$ d)

de donde, además, por la Proposición 4, la suma es directa, es decir,

d) $\Rightarrow$ a) Al reunir las bases de se obtiene una base de constituida por vectores propios, lo cual, de acuerdo al Teorema 1, garantiza que es diagonalizable. $\Box$