SEDE BOGOTA

determinantes

Lección 2.

La FunciÓn Determinante

Cada fila de una matriz cuadrada $A\in M_{n}(K)$ puede considerarse como un vector de $K^{n}$ de tal forma que se pueden definir funciones multilineales de $M_{n}(K)$ en . Según la Proposición 1 de la lección anterior, cada función multilineal alternada queda completamente determinada por su acción sobre los vectores de una base. Esto permite definir el concepto de función determinante de la siguiente manera.

Sea $M_{n}(K)$ el álgebra de matrices cuadradas de tamaño $n\geq 1$ y sea la base canónica de $K^{n}$ . Se define la función determinante como la $\text{\U{fa}nica}$ función multilineal alternada

que satisface la condición , es decir, $\det(E)=1$ , donde es la matriz idéntica de orden .

Si , entonces cada fila $A_{(i)}$ de puede expresarse en la forma y, de acuerdo a la demostración de la Proposición 1, necesariamente se tiene que

es decir,

donde es el conjunto de funciones biyectivas de $\{1,2,\ldots ,n\}$ en si mismo. El signo de la función fue definido en al prueba de la Proposición 1. Cualquier función multilineal alternada de $M_{n}(K)$ en tal que coincide con la definición anterior de la $\det$ .

Ejercicio 1. Sea

MATH

A partir de la definicón de la función $\det$ demuestre que

Solución