SEDE BOGOTA

determinantes

Lección 1.

Funciones Multilineales

Los determinantes de las matrices pueden ser considerados como funciones que cumplen cuatro propiedades básicas. En este capítulo se verá que cualquier función del álgebra de matrices cuadradas $M_{n}(K)$ en el cuerpo que cumpla dichas propiedades es necesariamente la función determinante. La primera lección $\text{est\U{e1}}$ dedicada al estudio de esas propiedades básicas.

Sea un espacio vectorial sobre un cuerpo , una función multilineal de argumentos sobre el espacio es una función

que es lineal en cada argumento, es decir, satisface las siguientes condiciones:

para cada $1\leq i\leq m$ .

D es alternada si cumple la siguiente condición:

para cada $1\leq i\leq m-1.$ Es decir, es alternada si se anula cuando dos argumentos consecutivos coinciden.

Sea una función multilineal $\$ alternada de argumentos sobre un espacio . Entonces se puede demostrar fácilmente que satisface las siguientes propiedades.

d) Si se intercambian dos argumentos de el signo cambia, es decir,

para cualquier par $i\neq j.$

e) Si existe un par $i\neq j$ tal que $v_{i}=v_{j}$ , entonces

f) Si a un argumento se le suma otro multiplicado por un escalar, entonces el valor de la función no cambia. Es decir,

para cada par $i\neq j$ y cada escalar $a\in K$ .

g) Si un argumento de es nulo, entonces se anula, es decir,

Proposición 1. Sea un espacio vectorial de dimensión finita $n\geq 1$ y sea una base de . Sean $D_{1}$ y $D_{2}$ dos funciones multilineales alternadas de argumentos sobre el espacio . $D_{1}=D_{2}$ si y sólo si

Demostración