SEDE BOGOTA

determinantes

Lección 1.

Funciones Multilineales

Proposición 1. Sea un espacio vectorial de dimensión finita $n\geq 1$ y sea una base de . Sean $D_{1}$ y $D_{2}$ dos funciones multilineales alternadas de argumentos sobre el espacio . $D_{1}=D_{2}$ si y sólo si

Demostración. Sean , entonces existen escalares tales que

MATH

Entonces,

$\vdots$

si se continua aplicando la linealidad de $D_{1}$ en cada uno de sus argumentos, se obtiene una suma de $n^{n}$ sumandos de la siguiente forma :

donde es el conjunto de todas las funciones del conjunto $\{1,2,\ldots ,n\}$ en si mismo. Nótese que tiene $n^{n}$ elementos. Pero como $D_{1}$ se anula cuando al menos dos de sus argumentos son iguales, entonces la suma anterior se reduce a una de sólo sumandos, es decir,

donde $S\subset F$ está conformado por todas las funciones biyectivas de $\{1,2,\ldots,n\}$ en si mismo. Nótese que este mismo procedimiento se puede aplicar a la función $D_{2}$ , es decir,

Aplicando ahora la propiedad (d), se puede decir que

donde en el caso en que se realizara un número par de transposiciones para llevar a la forma , y para un número impar de transposiciones para llevar a la forma Así pues,

Con lo supuesto en el enunciado de la proposición se completa la prueba.

En realidad se ha demostrado que una función multilineal alternada de argumentos sobre un espacio de dimensión finita queda determinada por su acción sobre los vectores de alguna base previamente fijada $.\Box$