SEDE BOGOTA

determinantes

Lección 4.

Regla de Crammer

La teoría de determinantes puede ser emprendida por medio de los llamados menores de una matriz. La definición de una nueva función en este caso se hace por inducción sobre el tamaño de las matrices.

Se define

MATH

La función se supone definida y se quiere construir la función

Sea , para el elemento $a_{ij}$ se define la matriz suprimiendo la -ésima fila y la -ésima columna de $A\,$ , es decir,

MATH

La imagen de $A_{ij}$ a través de la función $Det_{n-1}$ se conoce como el menor del elemento $a_{ij}$ y se denota por $M_{ij}$ , es decir,

$Det\,$ se define entonces por

Proposición 2. es una función multilineal alternada sobre las filas de las matrices de orden que cumple además la condición En consecuencia , $Det=\det .$

Se dice que la fórmula (1) define la función determinante por los menores de la primera columna, adaptando esta fórmula a cualquier otra columna se puede probar también la proposición anterior, además, como , entonces se tienen las siguientes igualdades:

para cada $1\leq i,j\leq n.$ Estas fórmulas pueden usarse para probar la regla de Crammer que se estudia enseguida.

Gabriel Cramer

Sea $A=[a_{ij}]$ una matriz de orden , se define la matriz cofactor de por

La regla de Crammer está entonces dada por el siguiente teorema.

Teorema 1. Sea una matriz cuadrada de orden $n\geq 1$ . Entonces,

MATH

Una consecuencia importante de este útil teorema es el siguiente corolario.

Corolario 1. Sea una matriz de orden $n\geq 1$ . Entonces, es invertible si y sólo si $\det (A)\neq 0.$ En tal caso,