SEDE BOGOTA

determinantes

Lección 5.

Sistemas de Ecuaciones Lineales

En esta lección se presentan los aspectos teóricos involucrados en la solución de sistemas de ecuaciones lineales, en particular se estudian los criterios para que un sistema tenga solución. No se enfatiza en métodos para encontrar las soluciones debido a que hoy día existen excelentes paquetes computacionales que permiten resolver con gran rapidez tales sistemas.

Sea un cuerpo arbitrario. Se denomina sistema de ecuaciones lineales de indeterminadas (incógnitas) y ecuaciones a un conjunto de ecuaciones de la forma

MATH

donde son los coeficientes del sistema y representan elementos de que hay que determinar y se conocen como las indeterminadas (incógnitas) del sistema. Se dice que el sitema (1) es de orden $m\times n$ . La matriz

MATH

se conoce como la matriz de coeficientes del sistema (1). Los escalares se conocen como los términos independientes del sistema (1). El sistema (1) se puede representar matricialmente en la forma

donde es la matriz de coeficientes, es la matriz columna de términos independientes y es la matriz columna de indeterminadas. La matriz ampliada del sistema es la matriz definida por

MATH

El sistema (2) se dice homogéneo si , en caso contrario se dice no homogéneo. Una solución del sistema (2) es una matrix columna tal que $AX_{0}=B.$ El sistema (2) se dice compatible si posee al menos una solución, en caso contrario se dice no compatible. Un sistema compatible con solución única se dice determinado, si el sistema posee más de una solución se dice indeterminado.

Sea

otro sistema de ecuaciones lineales de orden $m\times n$ , los sistemas (2) y (3) se dicen equivalentes si poseen las mismas soluciones. Nótese que la relación "ser equivalente" es de equivalencia en el conjunto de todas las ecuaciones lineales de orden $m\times n.$

Proposición 3. Sea un sistema homogéneo de orden $m\times n$ . Entonces

(a) El conjunto de soluciones constituye un subespacio de $K^{n}.$

(b) es de rango $r\geq0$ si y sólo si el espacio solución es de dimensión

Demostración

Como se anotó al principio, el cálculo efectivo del conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales se realiza hoy mediante algún paquete computacional. Sin embargo, es conveniente tener unos criteros claros que permitan entender algunos de los métodos que usan estos programas y que interpreten adecuadamente las respuestas que producen estos paquetes de cómputo.

Sea un sistema de orden $m\times n$ . Efectuando una sucesión finita de operaciones elementales sobre las filas de la matriz ampliada se obtiene un sistema equivalente al primero. En efecto, puesto que la realización de operaciones elementales sobre las filas de una matriz corresponde al producto a izquierda por matrices elementales (vésase la Lección 6 del Capítulo 3) y estas son invertibles, los conjuntos de soluciones de y coinciden.

La observación anterior permite sacar la siguiente conclusión.

Proposición 4. Todo sistema de ecuaciones lineales de orden $m\times n$ es equivalente a un sistema escalonado en la siguiente forma:

MATH

donde son no nulos y

La forma escalonada (4) permite determinar las soluciones del sistema original . Si en (4) existe $\leq i\leq m$ tal que $d_{i}\neq0$ , entonces el sistema es no compatible; si tal situación no se presenta entonces se pueden dar valores arbitrarios en a las indeterminadas libres $x_{j}$ , y obtener para las indeterminadas dependientes $x_{j_{1}},$ valores únicos mediante reemplazo hacia atrás, es decir, desde la r-ésima ecuación hasta la primera de (4). Si en (4) aparecen indeterminadas libres entonces el sistema tiene más de una solución y por lo tanto es indeterminado. Si no aparecen indeterminadas libres, es decir, , entonces la solución es única y el sistema es determinado.

Las observaciones anteriores pueden ser resumidas en la siguiente forma:

Proposición 5. Sea un sistema de ecuaciones lineales de orden $m\times n.$ El sistema es compatible si y sólo si después de reducirlo a la forma escalonada (4) no se presentan ecuaciones de la forma $0=d_{i}$ con $i\geq r$ y algún $d_{i}$ no nulo En tal caso, el sistema es determinado si y sólo si en (4) no hay indeterminadas libres.

Se pueden considerar situaciones particulares con .

Proposición 6. (a) Sea un sistema de ecuaciones lineales de orden $n\times n.$ El sistema es compatible y determinado si y sólo si $\det (A)\neq 0.$ En tal caso, la única solución es $A^{-1}B.$

(b) Sea un sistema compatible de ecuaciones lineales de orden $m\times n$ . Si entonces el sistema es indeterminado.

Demostración

El siguiente cuadro resume los resultados precedentes en relación con el número de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales:

	$\QTR{bf}{n>m}$	$\QTR{bf}{n\leq m}$
Homogéneo	$\infty$	, $\infty$
No homogéneo	$0,\infty$	$0,1,\infty$

Ejemplo Resuelto