SEDE BOGOTA

determinantes

Lección 5.

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Proposición 6. (a) Sea un sistema de ecuaciones lineales de orden $n\times n.$ El sistema es compatible y determinado si y sólo si $\det (A)\neq 0.$ En tal caso, la única solución es $A^{-1}B.$

(b) Sea un sistema compatible de ecuaciones lineales de orden $m\times n$ . Si entonces el sistema es indeterminado.

Demostración. (a) $\longrightarrow )$ Según la Proposición 4 el sistema es equivalente a un sistema escalonado ; pero las condiciones de compatibilidad y de solución única implican que y que . Puesto que se obtuvo de por medio de operaciones elementales, entonces $\det (A)\neq 0.$

$\longleftarrow)$ Si $\det(A)\neq0$ , entonces es invertible y necesariamente se tiene que $X=A^{-1}B.$

(b) Sea el número de indeterminadas dependientes en (4) . Entonces claramente $r\leq m$ y en consecuencia , con lo cual existen indeterminadas libres y el sistema es indeterminado. $\Box$