SEDE BOGOTA

polinomio caracteristico

Lección 1.

Valores y Vectores Propios

Proposición 1. ea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio . Sean valores propios diferentes con vectores propios , respectivamente. Entonces son L I. En particular, si es de dimensión finita $n\geq 1$ , entonces tiene a lo sumo valores propios diferentes. Si tiene exactamente valores propios diferentes, entonces es una base de .

Demostración. La prueba de la primera afirmación la se realiza por inducción. Las otras dos afirmaciones son consecuencia directa de la primera.

Si es un valor propio y $v\neq0$ es un vector propio asociado al valor , entonces $\{v\}$ es LI.

Supóngase que la afirmación ha sido probada para valores propios diferentes. Sean $a_{1},\ldots,a_{n}$ valores propios diferentes para con vectores propios Sean $b_{1},\ldots,b_{n}$ escalares tales que . Aplicando y también multiplicando por $a_{n\text{ }}$ se pueden restar las dos relaciones y obtener que

Aplicando inducción resulta entonces que , de donde $b_{n}=0$ . Esto prueba que los vectores $v_{1},\ldots,v_{n}$ son LI. $\Box$