Álgebra Lineal
Profesor: Oswaldo Lezama
polinomio caracteristico

 Lección 1. 
   Valores y Vectores Propios

Ejemplo 4. Sea $K[x]$ el conjunto de polinomios con coeficientes en el cuerpo $K$, y sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal. Entonces para cada polinomio $p(x)\in K[x]$ se tiene que $p(T)$ es una transformación lineal de $V$ en $V$, además si $a\in K$ es un valor propio de $T$ con vector propio $v$, entonces $p(a)$ es un valor propio de $p(T)$ con vector propio $v.$ En tal caso, MATH si $a$ es raíz de $p(x)$, y MATH si $a$ no es $\text{ra\U{ed}z}$ de $p(x)$.

Solución. Puesto que ya hemos definido la suma y producto de transformaciones lineales y además un producto de escalar por transformación lineal, entonces es claro que si MATH es un polinomio, entonces $p(T)$ es nuevamente una transformación lineal de $V$ en $V$. Sea ahora $a\in K$ un valor propio de $T$ con vector propio $v\in V$, entonces MATH, es decir, $p(a)$ es valor propio de $p(T)$ con vector propio $v$.

Supongamos que $a$ es raíz de $p(x)$, entonces $p(T)(v)=0$ y de esta forma MATH, es decir, MATH. Supóngase contrariamente que $a$ no es raíz de $p(x)$, entonces MATH, es decir, MATH, y así, MATH.$\Box $

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