SEDE BOGOTA

espacios con producto interno

Lección 6.

Transformaciones Hermitianas y SimÉtricas

Proposición 9. Sea un espacio con producto interno (unitario o euclidiano) y $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal con valor propio $\alpha$ . Entonces

a) Si es hermitiana, entonces

b) Si es simétrica, entonces

c) Si es antihermitiana, entonces $\alpha$ es imaginario puro

d) Si es antisimétrica, entonces $\alpha=0$ .

Demostración. Sea un vector propio correspondiente al valor propio $\alpha$ . Entonces, $=\alpha <v,v>$ , de donde

Si es hermitiana, entonces

con lo cual $\alpha$ es un número real. Si es simétrica, entonces actua por definición en un espacio euclidiano y $\alpha$ es un número real. Supóngase que es antihermitiana, entonces

y en consecuencia la parte real de $\alpha$ es nula. Si es antisimétrica $\alpha$ es por definición real y además $\alpha=-\alpha$ , es decir, $\alpha=0$ . $\Box$