SEDE BOGOTA

espacios con producto interno

Lección 7.

DiagonalizaciÓn

Ahora estudiaremos la diagonalización de matrices y transformaciones hermitianas y simétricas.

Teorema 2. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal hermitiana , antihermitiana (simétrica) de un espacio unitario (euclideano) de dimensión finita $n\geq 1.$ Entonces, es diagonalizable. Mas exactamente, tiene una base ortonormal de vectores propios de .

Demostración

El teorema anterior no es válido para transformaciones y matrices antisimétricas, ya que en caso contrario todas éstas serían nulas (ver la Proposición 11 )

Las siguientes proposiciones permiten caracterizar las matrices diagonalizantes a que hace referencia el Teorema 2.

Proposición 12. Sea una matriz compleja hermitiana (antihermitiana) de orden Entonces existe una matriz compleja invertible de orden tal que

MATH

donde son los valores propios de y para se tiene que $C^{-1}=$ $C^{\ast }$ .

Demostración

Proposición 13. Sea una matriz real simétrica de orden Entonces existe una matriz real invertible de orden tal que

MATH

donde son los valores propios de y para se tiene que $C^{-1}=$ $C^{T}$ .

Ejercicio 6. Para MATH calcular una matriz tal que $C^{-1}AC$ sea diagonal.

Solución

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