Álgebra Lineal
Profesor: Oswaldo Lezama
espacios con producto interno

 Lección 7. 
   DiagonalizaciÓn

Proposición 12. Sea $A$ una matriz compleja hermitiana (antihermitiana) de orden $n.$ Entonces existe una matriz compleja invertible $C$ de orden $n$ tal que

MATH

donde MATH son los valores propios de $A$ y para $C$ se tiene que $C^{-1}=$ $C^{\ast }$ .

Demostración. Sea $X$ la base canónica de $\QTR{Bbb}{C}^{n}$, existe una transformación MATH tal que $m_{X}(T)=A$. Puesto que $X$ es ortonormal entonces $T$ es hermitiana (antihermitiana); existe una base ortonormal $Y$ de $\QTR{Bbb}{C}^{n}$ tal que MATH, donde MATH son los valores propios de T, y en consecuencia, los de $A$. Se tiene entonces que $m_{Y}(T)=C^{-1}AC$, donde $C$ es la matriz de cambio de $X$ a MATH Resta ver que $C^{-1}=C^{\ast }.$

MATH

MATH

Para $k\neq s$ se tiene que $<x_{k},x_{s}>=0.$ Por lo tanto,

MATH

Entonces, $C^{\ast}C=E.$ De manera análoga se establece que $CC^{\ast}=E. $ $\Box$

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