SEDE BOGOTA

espacios con producto interno

Lección 7.

DiagonalizaciÓn

Teorema 2. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal hermitiana , antihermitiana (simétrica) de un espacio unitario (euclideano) de dimensión finita $n\geq 1.$ Entonces, es diagonalizable. Mas exactamente, tiene una base ortonormal de vectores propios de .

Demostración. La prueba se hace por inducción sobre . Si entonces , con $v\neq 0$ . Sea , entonces y con De esta manera, es un vector propio de y $\{w\}$ es una base ortonormal de

Supóngase que el teorema ha sido demostrado para espacios de dimensión , y sea de dimensión . Si es unitario, entonces podemos garantizar la existencia de valores y vectores propios para . Sea euclidiano y simétrica. Sea una base ortonormal de , entonces $A=m_{X}(T)$ es simétrica (véase el Corolario 3 ). Podemos considerar la matriz como hermitiana, de donde, tiene al menos un valor propio , sin embargo sabemos que $a_{1}$ es necesariamente real (proposición 9). Sea el vector propio asociado al valor $a_{1}$ de tal forma que $(A-a_{1}.E)Z=0;$ el vector puede escribirse en la forma $Z=Z_{1}+iZ_{2},$ donde . Se tiene entonces que Además, $Z_{1}\neq 0$ ó $Z_{2}\neq 0.$ Así pues, $Z_{1}$ ó $Z_{2}$ es un vector propio real de con valor propio real $a_{1},$ de donde tiene al menos un vector propio $u_{1\text{ }}$ con valor propio $a_{1}.$ Sea entonces es decir $v_{1}$ es un vector propio de de norma

Sea $W=<v_{1}>$ , sabemos que (Proposición 5), de donde Es fácil ver que $W^{\perp }$ es -invariante, y podemos definir la restricción $T_{0}$ de al subespacio $W^{\perp }$ . Es obvio que $T_{0}$ es hermitiana (antihermitiana, simétrica, respectivamente). Por inducción existen vectores propios ortonormales que conforman una base de $W^{\perp }.$ Resulta entonces que es una base ortonormal de vectores propios de . $\Box$