SEDE BOGOTA

espacios con producto interno

Lección 8.

Transformaciones Unitarias y Ortogonales

Estudiaremos es esta lección las transformaciones lineales cuya inversa es su adjunta.

Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio unitario (euclidiano), se dice que es unitaria (ortogonal) si

para cada $u,v\in V.$

Proposición 14. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio unitario (euclidiano) de dimensión finita $n\geq 1$ . Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

(a) es unitaria (ortogonal)

(b) Para cada base de se cumple que , para cada $1\leq i,j\leq n.$

(d) Existe una base ortonormal de tal que es también una base ortonormal de

(e) Para cada $v\in V$ se cumple que

(f) $T^{-1}$ existe y $T^{-1}=T^{\ast}.$

Demostración

Algunas de las propiedades expuestas en la proposición anterior son válidas para transformaciones lineales sobre espacios de dimensión infinita. Sea Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio , entonces

(i) es unitaria (ortogonal) si y sólo si preserva la norma si y sólo si preserva distancias, es decir, , para cada $u,v\in V.$

(ii) Sea es unitaria (ortogonal), entonces $<T(u),T(v)>\,=0$ si y sólo si

(iii) Toda transformación unitaria (ortogonal) es inyectiva. Además, preserva el producto interno. En consecuencia, si es una transformación unitaria (ortogonal) biyectiva, entonces $T^{-1}$ es también unitaria (ortogonal).

(iv) La composición de transformaciones unitarias (ortogonales) es nuevamente una transformación unitaria (ortogonal). En consecuencia, el conjunto de transformaciones unitarias (ortogonales) biyectivas es un grupo.

Una matriz compleja se dice unitaria si $CC^{\ast }=E$ (es decir, es invertible y su inversa es igual a su adjunta). Una matriz real se dice ortogonal si $CC^{T}=E$ (es decir, es invertible y su inversa es su transpuesta).

Corolario 4. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio unitario (euclidiano) de dimensión finita $n\geq 1$ . Entonces, es unitaria (ortogonal) si y sólo si la matriz de en cada base ortonormal de es unitaria (ortogonal).

Demostración

La diagonalización de las transformaciones (matrices) unitarias será probada en la próxima lección. El siguiente ejemplo ilustra que no toda transformación (matriz) ortogonal es diagonalizable.

Ejemplo 12. La matriz real MATH es ortogonal, sin embargo no tiene valores propios reales, por lo tanto, no es diagonalizable.

v Sea una transformación unitaria (ortogonal). Sea un valor propio de , entonces . En efecto, , con $u\neq 0$ , luego , por lo tanto, $a\overline{a}=1$ , es decir, .

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