SEDE BOGOTA

espacios con producto interno

Lección 9.

Transformaciones Normales

Nótese que las transformaciones Hermitianas, antihermitianas, simétricas, antisimétricas , unitarias y ortogonales, tienen la propiedad de conmutar con su adjunta. Estudiaremos en esta lección las transformaciones con tal propiedad.

Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio unitario (euclidiano). Se dice que es normal si Una matriz compleja (real) se dice normal si

Corolario 5. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio unitario (euclidiano) de dimensión finita $n\geq 1$ y una base ortonormal de . es normal si y sólo si la matriz de en la base es normal.

Corolario 6. Los siguientes tipos de transformaciones son normales: hermitianas, antihermitianas, simétricas, antisimétricas, unitarias y ortogonales.

Proposición 15. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación normal de un espacio unitario (euclidiano) de dimensión finita $n\geq 1$ . $u\in V$ es un vector propio de con valor propio si y sólo si es vector propio de $T^{\ast }$ con valor propio $\overline{a}.$

Demostración

Proposición 16. Sea un espacio unitario (euclidiano) de dimensión finita $n\geq 1$ y una base ortonormal de . que $m_{X}(T)$ es triangular superior. Entonces, es normal si y sólo si $m_{X}(T)$ es diagonal.

Demostración

En el Corolario 2 del Capítulo 6 vimos que toda matriz compleja es similar a una matriz triangular superior. Veremos ahora que la matriz triangulante puede tomarse unitaria.

Proposición 17. Sea un espacio unitario de dimensión finita $n\geq 1$ y $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal. Entonces existe una base ortonormal en tal que $m_{X}(T)$ es triangular superior.

Demostración

Según la prueba de la Proposición 12, la matriz de cambio entre bases ortonormales en espacios unitarios ( y euclidianos) es unitaria. Por lo tanto, se tiene la siguiente afirmación.

Corolario 7. Para cada matriz compleja existe una matriz unitaria tal que $U^{-1}AU$ es triangular superior.

Como consecuencia directa de la Proposición 16 y el corolario anterior, se tiene el siguiente corolario.

Corolario 8. Toda matriz (transformación) normal compleja es diagonalizable por medio de una matriz unitaria.

De los resultados del presente capítulo se puede sacar la siguiente conclusión:

Matrices (transformaciones) diagonalizables: Hermitianas, antihermitianas, unitarias, simétricas.

Matrices (transformaciones) no siempre diagonalizables: antisimétricas, ortogonales.

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