SEDE BOGOTA

espacios con producto interno

Lección 9.

Transformaciones Normales

Proposición 16. Sea un espacio unitario (euclidiano) de dimensión finita $n\geq 1$ y una base ortonormal de . Supóngase que $m_{X}(T)$ es triangular superior. Entonces, es normal si y sólo si $m_{X}(T)$ es diagonal.

Demostración. Sea $A=m_{X}(T)$ , entonces Si es diagonal, entonces , de donde . Recíprocamente, sea una transformación normal; como es triangular superior, entonces $T(v_{1}$ $)=a_{11}.v_{1}$ . Según la Proposición 15, $T^{\ast }(v_{1}$ de otra parte, $T^{\ast }(v_{1}$ , por lo tanto $a_{1k}=0$ para todo $k\geq 2$ . En particular, $a_{12}=0.$ Nuevamente, como es triangular superior $T(v_{2}$ $)=a_{22}.v_{2}$ , de donde $T^{\ast }(v_{2}$ y como antes, $a_{2k}=0$ para todo $k\neq 2$ . Continuando de la misma forma se tiene que es una matriz diagonal $.\Box$