SEDE BOGOTA

espacios con producto interno

Lección 10.

Ejercicios

Esta sección contiene una lista de ejercicios de aplicación a los temas tratados en el presente capítulo. Se sugiere a los estudiantes resolver estos problemas, los cuales ayudarán a reforzar el aprendizaje.

Sea esta la oprtunidad para ratificar la disponibilidad de los profesores para resolver cualquier duda sobre la temática del presente curso. Sus preguntas y comentarios pueden ser enviados via e-mail o también usando la página de visitantes en donde podrán usar un formato especialmente diseñado para tal efecto.

Problema 1. Sea un espacio vectorial real tal que . Supóngase que cada $W_{i}$ es euclidiano con producto interno . Definir sobre un producto interno y demostrar que es euclidiano.

Problema 2.Pruebe que si los vectores , $1\leq i\leq n$ conforman una base ortogonal de $\QTR{Bbb}{R}^{n}$ , donde $x_{ij}=0$ para , entonces $x_{ij}\neq 0$ para y $x_{ij}=0$ para $i\neq j.$

Problema 3. Definir en el espacio un producto interno tal que sea una base ortonormal.

Problema 4. Sea un espacio euclidiano $\$ y $W_{1},W_{2}$ subespacios de de dimensión finita. Demostrar que si y sólo si

Problema 5. Sea un espacio unitario de dimensión finita y sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal. Si es invertible, entonces $T^{\ast }$ es invertible y

Problema 6. Sea un espacio unitario de dimensión finita y sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal hermitiana. Demostrar que la composición de dos transformaciones hermitianas es hermitiana si y sólo si ellas conmutan para la composición.

Problema 7. Sea un espacio unitario de dimensión finita y sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal tal que $T^{2}=T.$ Demostrar que es hermitiana si y sólo si

Problema 8. Demuestre que una matriz compleja de tamaño $n\times n$ es unitaria si y sólo si las columnas de conforman una base ortonormal de $\QTR{Bbb}{C}^{n}$ , si y sólo si, las filas de conforman una base ortonormal de $\QTR{Bbb}{C}^{n}.$

Solución

Problema 9. Sea el conjunto de matrices cuadradas complejas de orden tales que los elementos diagonales son números reales positivos y los elementos por encima de la diagonal son nulos. Demostrar que es un grupo respecto al producto.

Problema 10. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio unitario. Entonces se puede descomponer en la forma $T=U_{1}+iU_{2}$ , donde son transformaciones hermitianas.

Problema 11. En el espacio de polinomios reales de grado $\leq 2$ se define el producto interno

Si es el operador derivación definido sobre , encontrar matriz del operador $D^{\ast}$ en la base canónica de .

Problema 12. En el espacio de polinomios reales de grado $\leq n$ se define el producto interno

Si es el operador derivación definido sobre , encontrar un subespacio invariante de dimensión respecto del operador $D^{\ast}$ .

Problema 13. Sea un vector propio del operador con valor propio y sea un vector propio de $T^{\ast }$ con valor propio de tal forma que $b\neq \overline{a}$ . Demostrar que y son ortogonales.

Problema 14. Sea un operador normal sobre un espacio . Demostrar que $V=N(T)\oplus Im(T)$ .

Problema 15. Ilustrar dos operadores normales y tales que y sean normales y distintos.

Problema 16. Sea . Encontrar una base ortonormal de $U^{\bot }$ y extenderla hasta una base ortonormal de $\QTR{Bbb}{C}^{4}$ .

Solución

Problema 17. Encontrar una matriz compleja tal que $C^{-1}AC$ sea diagonal, donde

MATH .

Verificar además que $C^{-1}=C^{\ast }$ .

Solución

Problema 18. Determinar los valores de tales que

MATH

sea una matriz unitaria.

Solución

Problema 19. Encontrar una matriz ortogonal tal que

sea diagona MATH l

Solución

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