SEDE BOGOTA

espacios con producto interno

Lección 10.

Ejercicios

Problema 16. Sea . Encontrar una base ortonormal de $U^{\bot }$ y extenderla hasta una base ortonormal de $\QTR{Bbb}{C}^{4}$ .

Solución Inicialmente buscamos vectores tales que

MATH

Resolvemos

MATH

Con el SWP la solcuión es . Podemos entonces dar valores para que los vectores encontrados sean LI: , entonces resultan los vectores . Comprobemos que estos vectores efectivamente pertenecen a $U^{\bot }$ :

Ahora veamos que los dos vectores encontrados son LI: la matriz MATH es de rango . Debemos ahora normalizar esta base de $U^{\bot }$ :

, ,

luego .

Se tiene pues que $\{w_{1},w_{2}\}$ es una base ortonormal de $U^{\bot }$ , la cual debemos completar hasta una base ortonormal de $\QTR{Bbb}{C}^{4}$ . A partir de los dos vectores dados en podemos generar los dos vectores que faltan:

, ,

Veamos finalmente que los 4 vectores son LI:

MATH

esta matriz es de rango . Estos 4 vectores son la base ortonormal buscada.▫