SEDE BOGOTA

espacios con producto interno

Lección 10.

Ejercicios

Problema 8. Demuestre que una matriz compleja de tamaño $n\times n$ es unitaria si y sólo si las columnas de conforman una base ortonormal de $\QTR{Bbb}{C}^{n}$ , si y sólo si, las filas de conforman una base ortonormal de $\QTR{Bbb}{C}^{n}.$

Solución Sea una matriz compleja de tamaño $n\times n$ :

MATH

Entonces, es unitaria si y sólo si $A^{-1}=A^{\ast}$ , es decir, , donde es la idéntica. Estas relaciones se pueden expresar en la siguiente forma:

MATH

Entonces, es unitaria si y sólo si , donde $\delta_{ii}=1$ y $\delta_{ij}=0$ para $i\neq j$ . Nótese entonces que es unitaria si y sólo si las filas de conforman un conjuntos ortonormal de vectores de $\QTR{Bbb}{C}^{n}$ , es decir, si y sólo si las filas de conforman una base ortonormal de $\QTR{Bbb}{C}^{n}$ . Al considerar la segunda igualdad matricial de arriba se obtiene la afirmación análoga por columnas.\