SEDE BOGOTA

espacios con producto interno

Lección 10.

Ejercicios

Problema 17. Encontrar una matriz compleja tal que $C^{-1}AC$ sea diagonal, donde

MATH .

Verificar además que $C^{-1}=C^{\ast }$ .

Solución Nótese que la matriz es hermitiana, y por tanto, diagonalizable (Teorema 2 de la Lección 7 del Capítulo 8).

Vamos inicialmente a intentar verificar con el Teorema 3 de la Lección 2 del Capítulo 6 que es efectivamente diagonalizable:

MATH

minimum polynomial: $X^{2}-6X+7$ , roots: MATH

eigenvectors: MATH

Los dos valores propios son diferentes y son por supuesto las dos raíces distintas del mínimo. Esto garantiza que es diagonalizable. La diagonalización del Capítulo 6 se hace a través de la base de vectores propios disponiendo estos vectores en las columnas de una matriz y calculando :

MATH

Usando el SWP para este cálculo se obtiene una matriz $F=[f_{ij}]$ con entradas suficientemente complicadas, sin embargo estas entradas se pueden simplificar con el comando "Simplify" y obtenemos lo siguiente :

MATH

Con lo cual, $\allowbreak$

MATH .

Vamos ahora a aplicar la Proposición 12 de la Lección 7 del Capítulo 8 mediante la cual se encuentra también una matriz que diagonaliza a la matriz pero esta matriz es unitaria: las columnas de la matriz son los vectores propios de pero normalizados: