Álgebra Lineal
Profesor: Oswaldo Lezama
espacios con producto interno

 Lección 9. 
   Transformaciones Normales

Proposición 17. Sea $V$ un espacio unitario de dimensión finita $n\geq 1$ y $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal. Entonces existe una base ortonormal $X$ en $V$ tal que $m_{X}(T)$ es triangular superior.

Demostración. La prueba se realiza por inducción sobre $n$. La afirmación es obvia para $n=1$. Supóngase que la proposición ha sido probada para $n$ y sea $V$ un espacio de dimensión $n+1$. Existe $u\in V$ y $a\in \QTR{Bbb}{C}$ tal que $T(u)=a.u$. Sea MATH y $W^{\perp }$ el complemento ortogonal de $W$. Según la prueba del Teorema 2, $W^{\perp }$ es $T$-invariante. Como MATH y MATH, entonces existe una base ortonormal MATH en $W^{\perp }$ tal que la matriz de la restricción de $T$ a $W^{\perp }$ en dicha base es triangular superior. Resulta entonces que MATH es una base ortonormal de $V$ en la cual la matriz de $T$ es triangular superior$.\Box $

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