Álgebra Lineal
Profesor: Oswaldo Lezama
espacios con producto interno

 Lección 8. 
   Transformaciones Ortogonales y Unitarias

Proposición 14. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio unitario (euclidiano) de dimensión finita $n\geq 1$. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

(a) $T$ es unitaria (ortogonal)

(b) Para cada base MATH de $V$ se cumple que MATH , para cada $1\leq i,j\leq n.$

(c) Si MATH es una base de ortonormal de $V$, entonces MATH es también una base ortonormal de $V.$

(d) Existe una base ortonormal MATH de $V$ tal que MATH es también una base ortonormal de $V.$

(e) Para cada $v\in V$ se cumple que MATH

(f) $T^{-1}$ existe y $T^{-1}=T^{\ast}.$

Demostración. $(a)\Rightarrow (b)$ es evidente.

$(b)\Rightarrow(c)$: Basta observar que MATH es un conjunto ortonormal de vectores no nulos.

$(c)\Rightarrow(d)$: Evidente.

$(d)\Rightarrow(e)$: Sea MATH, entonces

MATH

MATH

luego MATH

$(e)\Rightarrow (f)$: Basta probar que $T$ es inyectiva para garantizar la existencia de $T^{-1}.$ Si $T(v)=0$, entonces MATH, luego $v=0.$ Vamos ahora a probar que $T$ preserva productos, usando las siguientes

MATH(caso real)

MATH(caso complejo).

Entonces en el caso real se tiene que

MATH

MATH

MATH

El caso complejo se demuestra usando la segunda identidad de polarización. De lo anterior resulta, MATH, es decir, $T^{\ast}=T^{-1}.$

$(f)\Rightarrow(a)$: Sean $u,v\in V$, entonces MATH

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