SEDE BOGOTA

espacios duales

Lección 3.

El Doble Dual

Dado un espacio sobre un cuerpo hemos definido el espacio dual $V^{\ast},$ al cual a su vez se le define su dual $V^{\ast\ast}$ ; queremos conocer la relación de $V^{\ast\ast}$ con . Por otro lado, cada base de determina una base en $V^{\ast}$ , deseamos ahora saber si cada base de $V^{\ast}$ es la dual de alguna base de .

Si es de dimensión finita $n\geq 1,$ entonces vimos en la Proposición 1 que ; queremos enseguida presentar de manera directa el isomorfismo entre y $V^{\ast \ast }$ para identificar cada elemento de $V^{\ast \ast }$ con un elemento de . El espacio $V^{\ast \ast }$ se conoce como el doble dual. de .

Proposición 2. Sea un espacio de dimensión finita $n\geq 1$ . Entonces la función

MATH

donde

MATH

es un isomorfismo.

Corolario 1. Sea un espacio de dimensión finita $n\geq 1$ . Entonces

a) Dado $T\in V^{\ast\ast}$ existe un único $v\in V$ tal que para cada $f\in V^{\ast}.$

b) Cada base de $V^{\ast}$ es dual de alguna base de .

Demostración

Según lo anterior podemos identificar los funcionales de $V^{\ast\ast}$ con los vectores de , así: $T\in V^{\ast\ast}$ se identifica con el vector $v\in V$ tal que para cada $f\in V^{\ast}$ ; de esta manera podríamos reemplazar por y escribir que para cada $f\in V^{\ast}.$

Corolario 2. Sea un espacio de dimensión finita $n\geq 1$ y sea $S\neq \emptyset$ un subconjunto de . Entonces, . En particular, si es un subespacio de , entonces

Demostración