SEDE BOGOTA

formas canonicas

Lección 4.

El Teorema de DescomposiciÓn Irreducible

Como vimos en la Lección 2, la forma del polinomio mínimo de una matriz o transformación es clave para decidir si es posible reducirla a una determinada forma canónica. En esta lección estudiamos un teorema sobre la descomposición del polinomio mínimo, el cual será muy útil en lo que resta de este capítulo. Podemos iniciar con la siguiente proposición.

Proposición 8. Sea un espacio vectorial descompuesto en suma directa finita de $k\geq 2$ subespacios

Entonces existen transformaciones lineales del espacio que satisfacen las siguientes condiciones:

b) $T_{i}\,T_{j}=0$ para $i\neq j.$

c) $I_{V}$

d) $Im(T_{i})$

Recíprocamente, si son transformaciones lineales del espacio que satisfacen las condiciones a) - c) , entonces

Demostración

Nótese que la proposición anterior se cumple trivialmente para

Teorema 4 (de descomposición irreducible). Sea $T:V\rightarrow V$ una lineal de un -espacio de dimensión finita $n\geq 1$ . que el polinomio mínimo de tiene la siguiente descomposición en producto de polinomios irreducibles:

donde $\in K[x]$ son polinomios mónicos irreducibles diferentes, $1\leq\,$ grado( $q_{i}(x)$ ) $\,\leq n$ , $1\leq r_{i}\leq n$ , Sea

$W_{i}=$

Entonces,

a) Cada $W_{i}$ es invariante y no nulo.

c) Sea $T_{i}$ la restricción de al subespacio $W_{i}.$ Entonces el polinomio $\text{m\U{ed}nimo}$ de $T_{i}$ es $q_{i}(x)^{r_{i}}.$

Demostración

Para la prueba de las partes a) y b) del teorema anterior no es necesario suponer que el espacio sea de dimensión finita. Además, podemos reemplazar el polinomio mínimo $q_{T}(x)$ por cualquier polinomio que se anule en , es decir, por cualquier múltiplo de él. Sin embargo, en esta generalización no podemos garantizar en la parte a) que cada sumando $W_{i}$ sea no nulo.

Como consecuencia de este teorema se tiene el siguiente corolario sobre diagonalización en bloques. El caso no es considerado en el corolario, ya que toda transformación lineal de un espacio de dimensión es diagonalizable en bloques.

Corolario 4. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un -espacio de dimensión finita $n\geq \QTR{bf}{2}$ . Supóngase que el polinomio mínimo de tiene la siguiente descomposición :

donde $\in K[x]$ son un polinomios mónicos irreducibles diferentes, $1\leq\,$ grado( $q_{i}(x)$ ) $\,\leq n-1$ , , Entonces es diagonalizable en bloques.

Demostración

Teniendo en cuenta que nuestra definición de diagonalización en bloques requiere de al menos dos bloques, entonces aún para cuerpos algebraicamente cerrados no toda matriz o transformación lineal es diagonalizable en bloques. De otra parte, nótese que el recíproco del corolario anterior no se tiene: la matriz idéntica es diagonalizable en bloques pero su polinomio mínimo es

Ejercicio 4. Demuestre que el polinomio mínimo de la matriz

MATH

es $(x-7)^{2}$ , pero dicha matriz no es diagonalizable en bloques.

Ejercicio 5. Demuestre que la matriz

MATH

es diagonalizable en bloques. Calcule una matriz diagonal en bloques que sea similar a la matriz

Solución

Cerramos esta lección con un ejemplo de aplicación del Teorema de Descomposición Irreducible a las ecuaciones diferenciales ordinarias de orden $n\geq1$ con coeficientes constantes.

Ejemplo 1. Ecuaciones diferenciales ordinarias de grado $n\geq 1$ con coeficientes constantes.