SEDE BOGOTA

formas canonicas

Lección 4.

El Teorema de DescomposiciÓn Irreducible

Proposición 8. Sea un espacio vectorial descompuesto en suma directa finita de $k\geq 2$ subespacios

Entonces existen transformaciones lineales del espacio que satisfacen las siguientes condiciones:

b) $T_{i}\,T_{j}=0$ para $i\neq j.$

c) $I_{V}$

d) $Im(T_{i})$

Recíprocamente, si son transformaciones lineales del espacio que satisfacen las condiciones a) - c) , entonces

Demostración. La transformación $T_{i}$ es simplemente la función proyección definida por . Estas funciones satisfacen claramente las propiedades a)-d) ya que la suma de los subespacios $W_{i}$ es directa.

Para la segunda parte, sea $v\in V$ , entonces usando la propiedad c) se tiene que . Esto denmuestra que . Sea ahora , aplicando $T_{i}$ a cada lado y teniendo en cuenta a) y b) resulta , es decir, la suma es directa.▫