SEDE BOGOTA

formas canonicas

Lección 4.

El Teorema de DescomposiciÓn Irreducible

Teorema 4 (de descomposición irreducible). Sea $T:V\rightarrow V$ unalineal de un -espacio de dimensión finita $n\geq 1$ . que el polinomio mínimo de tiene la siguiente descomposición en producto de polinomios irreducibles:

donde $\in K[x]$ son polinomios mónicos irreducibles diferentes, $1\leq\,$ grado( $q_{i}(x)$ ) $\,\leq n$ , $1\leq r_{i}\leq n$ , Sea

$W_{i}=$

Entonces,

a) Cada $W_{i}$ es invariante y no nulo.

c) Sea $T_{i}$ la restricción de al subespacio $W_{i}.$ Entonces el polinomio de $T_{i}$ es $q_{i}(x)^{r_{i}}.$

Demostración. Nótese que el teorema se cumple trivialmente para .

Sea pues . Consideremos los polinomios

Es claro que el máximo común divisor de estos polinomios es por lo tanto, existen polinomios $\in K[x]$ tales que

Sea . Se puede probar facilmente que estas transformaciones cumplen las condiciones a) - c) de la Proposición 8. Entonces

Queremos ahora demostrar que : sea $u\in$ $\func{Im}(L_{i})$ , entonces , donde $v\in V$ , y se tiene que

lo cual indica que Por otro lado, sea ; como mencionamos arriba, , y en consecuencia ,

Pero nótese que para $j\neq i\,$ se tiene que $s_{j}(x)p_{j}(x)$ es múltiplo de $q_{i}(x)^{r_{i}}$ , con lo cual para $j\neq i.$ Se tiene entonces que $u=L_{i}(u)$ , es decir,

Haciendo , se tiene probada la parte b) del teorema.

Según vimos en la Lección 2 , es invariante. Puesto que , $p_{i}(x)\neq 1$ y grado( $p_{i}(x)$ )grado( $q_{T}(x)$ ) , por lo tanto, $p_{i}(T)\neq 0$ . Existe entonces $v\in V$ tal que , y entonces

es decir, . Hemos completado la prueba de la parte a).

Resta probar la parte c). Sea $T_{i}$ la restricción de al subespacio Entonces, para cada $u\in W_{i}$ se tiene que , es decir, , de donde $q_{i}(x)^{r_{i}}$ es múltiplo del polinomio mínimo de $T_{i}:$ $q_{T_{i}}(x)$ . De otra parte, para cada $v\in V=$ se tiene que

donde Esto quiere decir que , por lo tanto, es múltiplo de , y en consecuencia, $q_{T_{i}}(x)$ es múltiplo de $q_{i}(x)^{r_{i}}$ .

Esto completa la demostración del teorema. $\Box$