SEDE BOGOTA

formas canonicas

Lección 4.

El Teorema de DescomposiciÓN Irreducible

Ejemplo 1. Ecuaciones diferenciales ordinarias de grado $n\geq 1$ con coeficientes constantes: un caso particular.

Sea Capítulo 4 $C^{n}(a,b)$ Capítulo 4 el espacio de las funciones del intervalo en $\QTR{bf}{R}$ cuyas primeras derivadas son continuas. Consideremos el operador lineal de derivación

$D:V\rightarrow V.$

Sea un polinomio con coeficientes reales el cual se puede factorizar en la forma

donde $\alpha_{i}\in$ $\QTR{bf}{R}$ , y sea

la transformación polinomial correspondiente. El núcleo de se conoce como el espacio solución de la ecuación diferencial ordinaria

donde $y^{(k)}$ denota la derivada de orden de la función $y=f(x)\in V$ . Puesto que es invariante, entonces podemos redefinir como una transformación de en

$D:W\rightarrow W$ ,

de tal forma que se anula en este nuevo operador . Queremos demostrar que la dimensión del espacio es Según anotamos después de la demostración del teorema de descomposición irreducible, las partes a) y b) de dicho teorema son válidas para espacios de dimensión infinita y para polinomios que se anulen en la transformación. Por lo tanto, el espacio se descompone en la forma