SEDE BOGOTA

formas bilineales

Lección 3.

Formas Bilineales SimÉtricas

Una forma bilineal sobre un espacio se dice simétrica si para cualesquiera $u,v\in V$ . Una matriz $A\in M_{n}(K)$ se dice si $A^{T}=A$ .

Corolario 3. Sea un -espacio de dimensión finita y una base ordenada cualquiera de . Sea una forma sobre sobre , entonces es simétrica si y sólo si $m_{X}(f)$ es simétrica.

Presentamos ahora uno de los teoremas centrales del presente capítulo acerca de la diagonlización de las formas bilineales simétricas en cuerpos de diferente de 2.

Teorema 2. Sea $\text{dim}V=n$ y sea un cuerpo tal que . Sea una forma bilineal simétrica sobre , entonces existe una base en tal que $m_{X}(f)$ es diagonal.

El resultado anterior se puede especificar más para el caso complejo.

Corolario 4. Si y es una forma bilineal simétrica sobre con $\text{rank}(f)=r$ , entonces existe una base ordenada en tal que

(a) $m_{X}(f)$ es diagonal.

(b) $f(v_{i},v_{i})=1$ para $1\leq i\leq r$ , $f(v_{i},v_{i})=0$ para .

La última parte de la demostración anterior no puede ser aplicada al caso real. Por eso en su lugar tenemos:

Corolario 5. Si y una forma bilineal simétrica sobre con $\text{rank}(f)=r.$ Entonces, existe una base ordenada en tal que

(a) $m_{X}(f)$ es diagonal.

(b) para $1\leq i\leq r,$ y $f(v_{i},v_{i})=0$ para $\ i>r.$

(c) El número de vectores de la base para los cuales en (b) se da el signo positivo es independiente de dicha base.

De la demostración del corolario enterior se pueden sacar las siguientes conclusiones:

(i) $\dim V^{\,+}_X$ es independiente de la base

(ii) $\dim V^{\,-}_X$ es independiente de la base

(iii)

(iv) $V_{X}^{\perp }$ es unico . Más aún, En efecto, $N(L_{f})$ ,es decir, , luego , pero como entonces se tiene la igualdad .

(v) Se define la signatura de como

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