formas bilineales
 Lección 4. 
   Formas Bilineales AntisimÉtricas

Una forma bilineal $f$ sobre un espacio $V$ se dice antisimétrica si $f(u,v)=-f(v,u)$ para cualesquiera $u,v\in V.$ Una matriz $A$ $\in M_{n}(k)$ se dice antisimétrica si $A=-A^{T}.$

Adaptando la prueba del Corolario 3 se pueden establecer los siguientes resultados para el caso antisimétrico.

Colorario 6. Sea $V$ un K-espacio de dimensión finita $n$ y $X$ una base ordenada cualquiera de $V.$ Sea $f$ una forma sobre $V.$ Entonces, $f$ es MATH MATH es antisimétrica.

Colorario 7. Sea $f\in L(V,V,K)$ una forma bilineal antisimétrica sobre un $K$-espacio de dimensión finita, donde $char(K)\neq 2$. Entonces, en cualquier base ordenada $X$ de $V,$ los elementos diagonales de $m_{X}(f)$ son nulos.

Proposición 3. Si $char(K)\neq 2$ y $f\in L(V,V,K)$, entonces $f$ es suma de una forma simétrica y una antisimétrica. Tal representación de $f$ es única.

En efecto, para $u,v\in V$ se define

MATH

MATH

Nótese que $g$ es simétrica, $h$ antisimétrica y además $f=g+h.$

Sean $g^{\U{b4}}$ , $h^{\U{b4}}$ simétrica y antisimétrica respectivamente, tales que MATH Entonces,

MATH

MATH

MATH

MATH

De manera similar resulta $h^{\U{b4}}=h.$

Ahora presentamos los análogos del Teorema 2, Corolario 4 y Corolario 5 del caso simétrico para el caso antisimétrico.

Teorema 3. Sea $dimV=n$ y $f\in L(V,V,K)$ una forma bilineal MATH, donde $char(K)\neq 2.$ Entonces el rango de $f$ es par, $rank(f)=2k$. Además, existe una base ordenada $X$ en $V$ tal que la matriz de $f$ es "suma directa" de la matriz nula de orden ($n-2k$) y $k$ matrices 2$\times $2 de la forma

MATH

Demostración

Mediante un simple reordenamiento de la base $X$ de la prueba del Teorema anterior en la forma MATH se obtiene la siguiente conclusión.

Corolario 8. Toda forma bilineal antisimétrica $f$ no singular es de grado par. Si $\dim V=2k$ , entonces existe una base $X$ en $V$ tal que

MATH

donde $\ L$ es de orden $k$ de la forma

MATH

 

 

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