SEDE BOGOTA

formas bilineales

Lección 4.

Formas Bilineales AntisimÉtricas

Teorema 3. Sea

y $f\in L(V,V,K)$ una forma bilineal

, donde $char(K)\neq 2.$ Entonces el rango de

es par,

. Además, existe una base ordenada

tal que la matriz de

es "suma directa" de la matriz nula de orden (

) y

matrices 2 $\times$ 2 de la forma

MATH

Demostración. Si la proposición es verdadera. Sea $f\neq 0.$ Existen tales que $f(u,v)\neq 0.$ Multiplicando por $f(u,v)^{-1}$ podemos suponer (s.p.) que

son L.I: sean $\alpha,\beta\in K$ tales que Entonces

MATH

MATH f(v,u)=-\beta1 f(u,v)=-\beta1

también,

Sea ahora

, por lo probado antes se tiene que la $\ dimW=2$ . Sea

. Veamos que

Sean $\ x\in V$ ,

Claramente $w\in W$ y $\ x=w+z.$ Veamos que $z\in W^{\perp}$ : MATH

También,

Resulta, $z\in W^{\perp}.$ Sea

entonces

, \,z=0.1 La restricción de $\ f$ a $W^{\perp}$ es una forma bilineal antisimétrica. Si esta restricción no es nula existen vectores $u^{\U{b4}},$ $v^{\U{b4}}$ en $W^{\perp}$ ,tales que $f(u^{\U{b4}},$ $v^{\U{b4}})=1.$ Sea

Como se vió antes se genera la descomposición

donde

Si la restriccion de

a $W^{\U{b4}\,\perp}$ no es nula podemos continuar de esta manera y consegir una sucesión finita ( $\dim V$ es finita ) de pareja de vectores $(u_{1},v_{1})$ , $(u_{2},v_{2})$ ,..... $(u_{k},v_{k})$ tales que: (a) $f(u_{j},v_{j})=1$ para $1\leq j\leq k.$ (b) $f(u_{i},u_{j})=$ $f(v_{i},v_{j})=$ $f(u_{i},v_{j})=0$ para $i\neq j.$ (c) Si

entonces

$\ ($

donde todo vector de $W_{0}\$ es ortogonal a todos los $u_{j},v_{j}$ y la restricción de $\ f$ a $W_{0}$ es nula. Sean $u_{1},v_{1}$ , $u_{2},v_{2}$ ,..... $u_{k},v_{k}$ , los vectores encontrados antes y que satisfacen (a),(b),(c). Sea

una base de $W_{0}$ en ( 2 ). Entonces,

es una base de

Nótese que

,y la matriz de

es :

Nótese finalmente que $rank(m_{X}(f))=2k.$ $\Box$