Álgebra Lineal
Profesor: Oswaldo Lezama
formas bilineales
 Lección 5. 
   Formas Sesquilineales

Esta lección estudia las formas sesquilineales sobre espacios reales o complejos que posean producto interno. Se estudia además la relación de estas formas con las transformaciones lineales. En adelante un espacio con producto interno denotará a un espacio unitario o a un espacio euclidiano.

Sea $V$ un espacio real o complejo. Una forma sesquilineal $f$ sobre $V$ es una función

MATH MATH

tal que

MATH

MATH

MATH

MATH

Para cualesquiera MATH

Observación. Nótese que las formas sesquilineales reales coinciden con las formas bilineales reales estudiadas en las lecciones anteriores. De otra parte, con las mismas operaciones definidas en la Lección 1, la colección de formas sesquilineales constituyen un espacio vectorial $S $. Establecemos enseguida el isomorfismo de este espacio con el de las matrices cuadradas complejas ( o reales ) para el caso de espacios de dimensión finita.

Sea $V$ un espacio de dimensión finita $n$ y sea MATH una base ordenada cualquiera de $V$. Sea $f$ una forma sesquilineal sobre $V$, la matriz de $f$ en la base $X$ se define por

MATH

Teorema 4. Sea $V$ un espacio real o complejo de dimensión finita $n$ y sea $S$ el espacio de formas sesquilineales sobre $V$. Entonces,

MATH

con MATH. En consecuencia, $\dim S = n^2.$

Demostración

La siguiente propiedad estudia el cambio que sufre la matriz de una forma sesquilineal cuando se produce un cambio de base (compárese con la Proposición 1 para el caso bilineal). Esto permitiría definir los conceptos de rango de una forma sesquilineal y de forma sesquilineal singular. Sin embargo, en la literatura clásica sobre formas sesquilineales estos conceptos no son tratados con suficiente atención.

Proposición 4. Sea $V$ un espacio real o complejo de dimensión finita $n$, y sea $f$ una forma sesquilineal sobre $V$. Sean MATH y MATH bases ordenadas de $V$. Entonces,

MATH

donde $C$ es la matriz de cambio de la base $X$ a la base $X\U{b4}$.

Veremos a continuación la manera de asociar a cada forma sesquilineal definida sobre un espacio con producto interno una cierta transformación lineal cuya matriz es la transpuesta de la matriz de la forma.

Proposición 5. Sea $V$ un espacio de dimensión finita $n$ con producto interno, y $f$ una forma sesquilineal sobre $V$. Entonces, existe una única transformación lineal MATH tal que

MATH

Demostración

Corolario 9. Sea $V$ un espacio con producto interno de dimensión finita $n$, y sea $f $ una forma sesquilineal sobre $V$. Entonces existe una única transformación lineal MATH tal que

MATH

La transformación $S$ de la proposición anterior es la adjunta de $T_{f}$ , es decir, $S=T_{f}^{\ast }$.

Demostración

Observación. (a) La transformación $T_{f}$ del Corolario 9 podría denominarse la transformación de la forma sesquilineal $f$. Sea MATH una base ortonormal de $V$. Veamos que relación existe entre $m_{X}(f)$ y $m_{X}(T_{f})$: sea MATH, $B=m_{X}(f)$. Entonces,

MATH

por lo tanto,

MATH

(b) Sea ahora $V$ un espacio real o complejo (no necesariamente con producto interno) y $X$ una base de $V$. Sea $f$ una forma sesquilineal sobre $V$. $f$ determina una matriz $A=m_X(f)$; $A$ determina una transformación MATH así: $U(x) = A^T Z^T $, con MATH coordenadas de $x$ en $X$. N\otese que $m_X(U) = A^T$.

(c) Combinando (a) y (b) para un espacio $V$ con producto interno y $X$ ortonormal se tiene:

MATH

luego,

MATH

En la Lección 3 vimos que las formas bilineales simétricas (ya sean reales o complejas) son diagonalizables. Veremos ahora como las formas sesquilineales definidas sobre espacios unitarios son triangulables.

Teorema 5. Sea $f$ una forma sesquilineal sobre una espacio unitario $V$ de dimensión finita $n$. Entonces existe una base ortonormal $X$ en $V$ tal que la matriz de $f$ es triangular superior.

Demostración

 

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