SEDE BOGOTA

formas bilineales

Lección 2.

Rango

En la lección anterior asignamos una matriz a una forma bilineal. Esto permitirá en la presente lección desarrollar una noción de rango para formas bilineales.

Proposición 1. Sea un -espacio de dimensión finita y $f\in L(V,V,K).$ Sean bases ordenadas de . Entonces

donde es la matriz de cambio de a $X^{\,\U{b4}}$ .

Demostración

Teniendo en cuenta que las matrices de cambio de base son invertibles, se tiene entonces el siguiente corolario de la proposición anterior.

Corolario 2. .

Sea una forma bilineal sobre un espacio de dimensión finita. Se llama rango de al rango de su matriz (en cualquier base ordenada).

La siguiente proposición permitirá definir una noción de forma bilineal no degenerada.

Proposición 2. Sea una forma bilineal sobre un espacio de dimensión . Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

(i) $\text{rank}(f)=n$

(ii) Para cada $u\neq0$ en existe en tal que $f(u,v)\neq0$

(iii) Para cada $v\neq0$ en existe en tal que $f(u,v)\neq0$

Demostración

Sea una forma bilineal sobre un espacio . se dice no degenerada (o no singular) si cumple alguna de las condiciones (ii) o (iii) de la proposición anterior. En el caso de dimensión finita esto es equivalente a que la matriz de en cualquier base ordenada sea invertible.

Ejemplo 1. Sea un espacio vectorial real con producto interno $(\ ,\ )$ . Entonces

es claramente una forma bilineal tal que para todo $u,v\in V$ y además para cada $u\neq0$ . , cada forma bilineal sobre que cumpla las dos condiciones anteriores, define un producto interno.

Ejemplo 2. En el espacio $V=\QTR{bf}{R}^{2}$ consideremos la forma bilineal definida por el producto interno y las bases $X=\{(1,0),(0,1)\},$ Entonces se tiene que

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