SEDE BOGOTA

formas bilineales

Lección 2.

Rango

Proposición 2. Sea una forma bilineal sobre un espacio de dimensión . Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

(i) $\text{rank}(f)=n$

(ii) Para cada $u\neq0$ en existe en tal que $f(u,v)\neq0$

(iii) Para cada $v\neq 0$ en existe en tal que $f(u,v)\neq 0$

Demostración. Sean $L_{f}$ y $R_{f}$ las funciones definidas por

;

Evidentemente , $R_f^v\in V^\ast$ $\forall u,v\in V$ , y y son transformaciones lineales.

En este lenguaje, nótese que la parte (ii) del enunciado de la proposición es equivalente a que $N(L_{f})=0$ , al igual que la parte (iii) es equivalente a que $N(R_{f})=0$ . La proposición estaría probada si logramos establecer que

o lo que es lo mismo,

Sea una base ordenada de , $Z=[a_1,\dots,a_n],$ $Y=[b_1,\dots,b_n]$ las coordenadas de los vectores $u,v\in V$ en la base ; y . Entonces $\forall v\in V$ para todo vector $\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$ $Z^T\in N(A^t)$ , entonces

An\alogamente, $\Leftrightarrow$ para todo vector $z\in K^n$ $\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$ $Y^T\in N(A);$ entonces