SEDE BOGOTA

formas bilineales

Lección 3.

Formas Bilineales SimÉtricas

Corolario 5. Si y una forma bilineal simétrica sobre con $\text{rank}(f)=r.$ Entonces, existe una base ordenada en tal que

(a) $m_{X}(f)$ es diagonal.

(b) para $1\leq i\leq r,$ y $f(v_{i},v_{i})=0$ para $\ i>r.$

Demostración. Existe una base en tal que $f(u_{i},u_{j})=0$ para $i\neq j.$ Como $\text{rank}(f)=r,$ entonces y podemos reordenar $X^{\,\U{b4}}$ de tal manera que para $1\leq i\leq r$ y $f(u_{i},u_{i})=0$ para $\ i>r.$

Sea

MATH

Nótese que entonces cumple (a) y (b).

Sea el número de vectores $v_{i}$ de la base para los cuales $(v_{i},v_{i})=1.$ Se debe probar que es independiente de la base que satisface (a) y (b).

Sean

MATH

Así, $dim(V^{\,+}_{X})=p$ . Sea otra base de que satisface (a) y (b). Queremos probar que .

Si $v\neq0$ esta en $V^{\,+}_X$ , entonces , es decir , es definida positivamente sobre $V^{\,+}_X.$ Análogamente, si $v\neq0$ esta en $V^{\,-}_X$ entonces , es decir, es definida negativamente en $V^{\,-}_X$ .

Sea ahora . Nótese que si $v\in V^{\perp}_X$ entonces para cada $x\in V.$ Teniendo en cuenta que es una base de ,entonces

MATH

Sea cualquier subespacio de en el que es definida positivamente. Entonces la suma es directa. En efecto , sea $u\in W,$ $v\in V^{-}_X$ y $z\in V^{\perp }_X$ tales que $\ u+v+z=0.$ Entonces,

MATH

también

MATH

Como $z\in V^{\perp}_X$ , entonces Además, en vista de la simetría se tiene que Puesto que $f(u,u)\geq0$ y $f(v,v)\leq0$ , entonces Como es positivamente definida en y negativamente definida en $V^{-}_X$ entonces ; de donde también

Según lo probado y de acuerdo a (1) se tiene $\dim W$ En otras palabras, si es un subespacio de en el cual está definida positivamente, entonces $\dim W$ Sea entonces otra base de que cumple (a) y (b), y sean definidos como para la base . Por lo tanto y por simetría, así se tiene que