SEDE BOGOTA

formas bilineales

Lección 3.

Formas Bilineales Simétricas

Teorema 2. Sea $\text{dim}V=n$ y sea un campo tal que . Sea una forma bilineal simétrica sobre , entonces existe una base en tal que $m_{X}(f)$ es diagonal.

Demostración. Si

no hay nada que probar. Sea $f\neq 0$ y

. Si

para cada $u\in V$ , entonces

. En efecto, siendo

, $4=1+1+1+1\neq 0$ en

y por lo tanto existe $4^{-1}=1/4$ . Se tiene la siguiente identidad de polarización:

MATH

De esta identidad se desprende entonces lo afirmado.

Se puede entonces asumir la existencia de $u\neq0$ en tal que $f(u,u)\neq0$ ( entonces para toda , todo y todo ). Sea $W=\langle u\rangle$ y

MATH

Claramente $W^{\perp}\leq V$ . Veamos que . Sea $v\in V$ . Hagamos

MATH

Entonces

MATH

Entonces, $z\in W^{\perp}$ , luego $v\in W^{\perp}+ W$ , así, $V=W^{\perp}+ W$ .

Sea ahora $a\cdot u\in W$ tal que . Entonces . Pero como $f(u,u)\neq0$ , entonces y así $W^{\perp }\cap W=0$ .

restringida a $W^{\perp}$ es una forma bilineal simétrica. Como , podemos aplicar inducción y suponer que existe una base en $W^{\perp}$ tal que $f(u_{i},v_{j})=0$ para $i\neq j$ e $i,j\geq2$ . Sea , es pues la base buscada. $\Box$