SEDE BOGOTA

formas canonicas

Lección 8.

Ejercicios

Esta sección contiene una lista de ejercicios de aplicación a los temas tratados en el presente capítulo. Se sugiere a los estudiantes resolver estos problemas, los cuales ayudarán a reforzar el aprendizaje.

Sea esta la oprtunidad para ratificar la disponibilidad de los profesores para resolver cualquier duda sobre la temática del presente curso. Sus preguntas y comentarios pueden ser enviados via e-mail o también usando la página de visitantes en donde podrán usar un formato especialmente diseñado para tal efecto.

Problema 1. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio -espacio de dimensión finita $n\geq 1$ . Demostrar que es invertible si y sólo si el término independiente $q_{0}$ del polinomio mínimo $q_{T}(x)$ es no nulo.

Solución

Problema 2. Sean y matrices cuadradas de orden $n\geq 1$ . Demostrar que los polinomios característicos de y coinciden.

Problema 3. Determinar la forma canónica de Jordan de las siguientes matrices:

MATH

Problema 4. Sean transformaciones diagonalizables de un espacio de dimensión finita $n\geq 1$ tales que Demostar que existe una base en tal que $m_{X}(T_{1})$ y $m_{X}(T_{2})$ son diagonales.

Problema 5. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio -espacio de dimensión finita $n\geq 1$ tal que tiene valores propios diferentes. Calcular el número de subespacios invariantes de

Solución

Problema 6. Sea $A=[a_{ij}]$ una matriz cuadrada de orden $n\geq 1$ tal que su número de entradas nulas es superior a $n^{2}-n$ . Demostar que el determinante de es igual a cero.

Problema 7. Sea $A=[a_{ij}]$ una matriz cuadrada invertible de orden $n\geq 1$ . Demostrar que

donde $p_{A}(x)$ denota el polinomio característico de la matriz

Problema 8. Sean y matrices complejas de tamaños y $m\times n$ respectivamente. Supóngase que para cada valor propio $\alpha$ de y cada valor propio $\beta$ de se cumple que . Demostrar entonces que la ecuación matricial tiene solución única.

Problema 9. Demostrar que cada matriz cuadrada compleja es similar a su transpuesta $A^{T}.$

Problema 10. Sea una matriz cuadrada compleja de orden $n\geq 1$ tal que existe un número natural para el cual se tiene que $A^{m}=E$ . Demostrar que es diagonalizable ( denota la matriz idéntica de tamaño ).

Problema 11. Sean $S,T:V\rightarrow V$ transformaciones tales que . Demostrar que e $\func{Im}(S)$ son subespacios -invariantes.

Problema 12. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio de dimensión finita. Demostrar que existe un entero tal que:

(a) Para $j\geq k$ se cumple que y

(b) y son subespacios -invariantes y además .

Solución

Problema 13.Calcular, usando los resultados del presente capítulo, una matriz invertible tal que $C^{-1}BC$ sea una matriz de Jordan, donde

MATH

Solución

Problema 14.Sea una transformación lineal con un solo valor propio $\lambda$ . Demostrar que $T-\lambda I$ es nilpotente.

Problema 15. Sección de Ejercicios del Capítulo 6. Sea $N:V\rightarrow V$ una transformación nilpotente. Demostrar que para cada transformación $T:V\rightarrow V$ se tiene que es nilpotente.

Problema 16. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal inverible en un espacio complejo de dimensión finita. Demostrar que existe una transformación $S:V\rightarrow V$ tal que $S^{2}=T$ (sugerencia: use la forma canónica de Jordan). Se dice que es la raíz cuadrada de .

Problema 17. Encontrar la raíz cuadrada de la siguiente matriz

MATH

Problema 18. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales usando los métodos explicados en la Lección 7 del presente capítulo:

MATH

Problema 19. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales usando los métodos explicados en la Lección 7 del presente capítulo:

MATH