SEDE BOGOTA

formas canonicas

Lección 8.

Ejercicios

Problema 1. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio -espacio de dimensión finita $n\geq 1$ . Demostrar que es invertible si y $\text{s\U{f3}lo}$ si el término independiente $q_{0}$ del polinomio mínimo $q_{T}(x)$ es no nulo.

Solución. Sea el polinomio característico de , entonces , luego Si es invertible entonces $p_{0}$ es no nulo, pero según el Teorema de Hamilton-Cayley $q_{T}(x)$ divide a $p_{T}(x)$ y esto implica que $p_{0}=q_{0}s_{0}$ , con $s_{0}\in K$ , por lo tanto $q_{0}$ es no nulo.

Recíprocamente, sea $q_{0}$ no nulo, esto indica que no es raíz de $q_{T}(x)$ , y nuevamente por la versión general del Teorema de Hamilton-Cayley, no puede ser raíz de $p_{T}(x)$ , luego $p_{0}$ es no nulo y entonces es invertible. \