SEDE BOGOTA

formas canonicas

Lección 8.

Ejercicios

Problema 12. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio de dimensión finita. Demostrar que existe un entero tal que:

(a) Para $j\geq k$ se cumple que y

(b) y son subespacios -invariantes y además .

Solución. Considérense las siguientes cadenas de subespacios:

MATH

Estas cadenas se deben estabilizar ya que es de dimensión finita, esto quiere decir que existen y enteros tales que si $j\geq p$ y si $j\geq q$ . Siendo $k=\max \{p,q\}$ se cumple la parte (a).

Según la Lección 2 del Capítulo 6, y son subespacios -invariantes. Veamos ahora que es suma directa de ellos. Sea , entonces , y , luego , es decir, , es decir, , o sea que . Para la transformación se tiene que , pero como estos subespacios están en suma directa, entonces .