SEDE BOGOTA

formas canonicas

Lección 8.

Ejercicios

Problema 5. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio -espacio de dimensión finita $n\geq 1$ tal que tiene valores propios diferentes. Calcular el número de subespacios invariantes de

Solución. Sean los valores propios de . Es claro que cada subespacio propio $E(a_{i})$ es invariante y que la suma de subespacios invariantes es invariante. De esta manera tenemos garantizados al menos $2^{n}$ subespacios invariantes diferentes: todos los subconjuntos diferentes de

Veamos ahora que cada subespacio invariante de es una suma directa finita de subespacios propios y por lo tanto determina un subconjunto de Si entonces no hay nada que probar: el subconjunto es el vacío. Sea $W\neq0,$ sabemos que el polinomio característico de la transformación inducida $T_{W}$ divide al polinomio característico de , es decir,

luego , y de esta forma $T_{W}$ determina el conjunto y debido a que $T_{W}$ es diagonalizable, se determina la descomposición

El último detalle que falta probar para concluir la demostración es que subespacios diferentes $W_{1}\neq W_{2}$ determinan conjuntos diferentes y por lo tanto descomposiciones diferentes Razonamos por contrarecíproca, si , entonces