SEDE BOGOTA

formas canonicas

Lección 8.

Ejercicios

Problema 13. Calcular, usando los resultados del presente capítulo, una matriz invertible tal que $C^{-1}BC$ sea una matriz de Jordan, donde

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Solución. El primer paso es calcular el polinomio característico y el polinomio mínimo de , para esto usamos el SWP: , . Esto indica que la matriz de Jordan de tiene un solo bloque de Jordan. El número de bloques elementales de Jordan correspondientes al valor propio es igual a la dimensión de , y el primer bloque elemental de Jordan es la multiplicidad de en el polinomio mínimo, o sea . Con esta información podemos asegurar que y también ya tenemos la forma de Jordan para la matriz :

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Debemos ahora calcular la matriz . Vamos a asumir que representa una transformación lineal (no necesitamos considerarla sobre $\U{2102}$ ya que su polinomio característico se factoriza completamente en $\U{211d}$ ). Se tiene entonces que . Debemos encontrar una base en de tal forma que la matriz será la matriz de cambio de la canónica de $\U{211d} ^{4}$ a esta nueva base . Consideremos para esto la transformación ; es nilpotente de índice y según la Proposición 13, $\U{211d} ^{4}$ se descompone en suma directa de subespacios cíclicos (recuérdese que ). Sea pues , donde $w_{1}$ tiene como polinomio anulador a $x^{3}$ y es una base de $[w_{1}]$ y, $w_{2}$ es tal que su polinomio anulador divide a $x^{3}$ . Pero como $\dim ([w_{2}])=1$ el polinomio anulador de $w_{2}$ es , esto indica que $N(w_{2})=0$ , es decir, $w_{2}$ debe pertenecer al núcleo de y no estar en la envolvente lineal de (debido a que la suma es directa). Pasemos entonces a encontrar los vectores $w_{1}$ y $w_{2}$ con estas condiciones. En calidad de $w_{1}\in$ tomamos el vector , entonces y ; nótese que estos tres vectores son LI. Ahora y deben ser LI. En calidad de entonces tomamos

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y de esta forma:

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