SEDE BOGOTA

matrices

Lección 7.

Ejercicios

Esta sección contiene una lista de ejercicios de aplicación a los temas tratados en el presente capítulo. Se sugiere a los estudiantes resolver estos problemas, los cuales ayudarán a reforzar el aprendizaje.

Sea esta la oprtunidad para ratificar la disponibilidad de los profesores para resolver cualquier duda sobre la tematica del presente curso. Sus preguntas y comentarios pueden ser enviados via e-mail o tambien usando la página de visitantes en donde podrán usar un formato especialmente diseñado para tal efecto.

Problema 1. Determinar todas las matrices de $M_{3}(K)$ que conmutan con la matriz

MATH

Problema 2. Una matriz cuadrada diagonal se dice escalar si todos los elementos de su diagonal son iguales. Demostrar que si $A\in M_{n}(K)$ conmuta con todas las matrices de $M_{n}(K)$ , entonces es escalar.

Problema 3. Sean matrices rectangulares de tamaño $m\times n$ y $p\times q$ , respectivamente. El producto Kronecker de las matrices y es una matriz de tamaño $mp\times nq$ y se define por

MATH

Leopold Kronecker

Demostrar que el producto Kronecker tiene las siguientes propiedades:
a)
b)
c)
d) Si los productos y , tienen sentido, entonces
e) Si son matrices cuadradas de orden y , respectivamente, entonces (la traza de una matriz cuadrada se define como la suma de los elementos de su diagonal principal). En el siguiente capítulo se repasa el concepto de determinante y sus propiedades. Demostrar que .

Problema 4. Sea una matriz cuadrada de tamaño $n\geq 2$ tal que todas sus entradas son iguales a . Demostrar que .

Problema 5. Sean matrices cuaradas invertibles de orden y , respectivamente. Sea $\{E_{ij}\}$ la base canónica de $M_{mn}(K)$ . Demostrar que las matrices $F_{ij}=PE_{ij}Q$ con conforman una base de $M_{mn}(K)$ . Calcular la matriz de cambio de la base canónica a esta nueva base.

Problema 6. Sea la transformación lineal definida por . Encontrar la matriz de relativa a las bases canónicas de $\U{211d} _{3}[x]$ y $\U{211d} ^{2}$ .

Problema 7. Sea una matriz invertible, se dice que es una involución si $A^{-1}=A$ . Probar que es una involución si y sólo si

Problema 8. Sean matrices invertibles. Demostrar que $A^{-1}+B^{-1}$ es invertible.

Problema 9. Sea una matriz cuadrada. Demostrar que si y sólo si $AA^{T}=0$ .

Problema 10. Sean matrices cuadradas de orden $n\geq 1$ tales que . Demostrar que .

Solución

Problema 11. Sea $V=\QTR{Bbb}{R}^{4}$ y sea . Encontrar una base para y extenderla a una base de . Además, sea $V=\QTR{Bbb}{C}^{4}$ y sea Calcular una base para y completar esta hasta una base de $\QTR{Bbb}{C}^{4}$ .

Solución

Problema 12. Sea el espacio vectorial real de todas las funciones de la forma y consideremos las transformaciones lineales $A:V\rightarrow V$ y $B:V\rightarrow V$ dadas por y . Encontrar la matriz de y de en la base .

Solución