SEDE BOGOTA

matrices

Lección 7.

Ejercicios

Problema 11. Sea $V=\QTR{Bbb}{R}^{4}$ y sea . Encontrar una base para y extenderla a una base de . Además, sea $V=\QTR{Bbb}{C}^{4}$ y sea Calcular una base para y completar esta hasta una base de $\QTR{Bbb}{C}^{4}$ .

Solución. Según la Proposición 9 de la Lección 5 del Capítulo 1, en ambos casos debemos encontrar un sistema de vectores linealmente independiente que genere a y luego completarlo hasta una base de $\QTR{Bbb}{R}^{4}$ y $\QTR{Bbb}{C}^{4}$ , respectivamente.

Para comenzar debemos determinar el máximo número de vectores LI del sistema dado de generadores de , para hacer esto dispondremos estos vectores en filas en una matriz y calculamos su forma escalonada:

MATH

Esto se hace con el SWP mediante los comandos Maple+Matrices+Reduced Row Echelon Form:

row echelon form: MATH .

Esto nos dice que los tres vectores dados son LI, y por tanto, constituyen una base de . Nótese adicionalmente que el SWP permite obtener este mismo resultado en forma inmediata mediante la secuencia de comandos: Maple+Matrices+Row Basis:

row basis: .

En el primer cálculo es bastante inmediato como extendernos hasta una base de $\QTR{Bbb}{R}^{4}$ , basta considerar el vector . Así pues una base de $\QTR{Bbb}{R}^{4}$ extendida desde la base de es .

Hacemos ahora la segunda parte del ejercicio en $\QTR{Bbb}{C}^{4}$ :

MATH

row basis:

row echelon form: MATH

Se tiene entonces que los cuatro vectores dados constituyen una base de $U=\QTR{Bbb}{C}^{4}$ .