SEDE BOGOTA

formas cuadráticas

Lección 2.

Suma de Cuadrados

Sea $\ f(u,u)$ una forma cuadrática sobre un espacio de dimensión finita . Se dice que es reducible a una suma de cuadrados, si existe una base y escalares en tales que:

donde $\alpha _{1},...,$ $\alpha _{k}$ son la coordenadas de $\ u$ en la base . Los coeficientes de en (3) se denominan canónicos. Uno de los teoremas centrales sobre formas cuadráticas es debido a Lagrange .

Teorema 1. (Método de Lagrange). Toda forma cuadrática sobre un -espacio de dimensión finita es reducible a una suma de cuadrados.

Demostración

De la prueba que acabamos de efectuar se observa que la base a través de la cual la forma cuadràtica se reduce a una suma de cuadrados , no está definida univocamente. Además, si una forma cuadrática está reducida a la forma canònica (6), no necesariamente todos los coeficientes son diferentes de cero. Sin embargo, en cualquier base de la cantidad de coeficientes no nulos es la misma, y coincide con el rango de la forma cuadrática.