SEDE BOGOTA

formas cuadráticas

Lección 1.

Formas CuadrÁticas

En este capítulo, salvo que se advierta lo contrario, denotará un cuerpo arbitrario de característica diferente de 2, $char(K)\neq2$ , y un -espacio vectorial.

Sea una forma bilineal simétrica sobre . La forma cuadrática asociada a es la función

Nótese que , para $\beta\in K,$ $u\in V$ , en particular $\ q(-u)=q(u).$

De otra parte,

por la simetría de tenemos:

( denota en . La ecuación anterior muestra que si $1+1\neq0$ , entonces queda completamente determinada por mediante la relación:

Si reemplazamos por en obtenemos:

y de $\ (1)\ -(3)$ se tiene , es decir,

Esta es la identidad de polarización que vimos en Teorema 2 del Capítulo 3.

Si es un espacio de dimensión finita y es una base de , entonces se define la matriz y, consecuentemente, el rango de la forma cuadrática , como la matriz y el rango de la respectiva forma bilineal.

Una forma cuadrática se dirá no degenerada ,o también no singular, si su matriz es invertible. La forma cuadrática puede escribirse también en la forma:

donde son las coordenadas de en la base , y