SEDE BOGOTA

formas cuadráticas

Lección 2.

Suma de Cuadrados

Teorema 1. (Método de Lagrange). Toda forma cuadrática sobre un -espacio de dimensión finita es reducible a una suma de cuadrados.

Demostración. Si para cada $u\in V$ , entonces en cualquier base de tiene la forma (6) con

Sea $f(u,u)\neq 0$ y sea una base de y expresada como en (5):

Se puede siempre suponer que $a_{11}\neq0$ . En efecto, si $a_{11}=0$ pero $a_{ii}\neq0$ para algún $2\leq i\leq n$ , entonces podemos reordenar la base de tal forma que el coeficiente correspondiente al primer cuadrado sea no nulo.

Si $a_{ii}=0$ para cada $1\leq i\leq n$ , entonces algún coeficiente $a_{ij}\neq0$ y, con un reordenamiento, podemos suponer que dicho coeficiente es $a_{12}$ . Se introduce entonces el siguiente cambio de coordenadas:

MATH

Nótese que este cambio de coordenadas corresponde al siguiente cambio de base: sea otra base de y Recuerdese que las coordenadas de en estas dos bases estan relacionados por

MATH

donde C = es la matriz de cambio de a . En este caso se tiene

MATH

con lo cual

MATH

de donde

MATH

$z_{3}=v_{i}$ $3\leq i\leq n$

Nótese que en con el cambio de coordenadas (8) el coeficiente de es

Así pues, en (7) podemos suponer sin perdida de generalidad ( es decir efectuando un cambio adecuado de base) que a $_{11}\neq0$ . Se tiene entonces que

Pero

Podemos entonces escribir

donde

MATH

Introducimos entonces el siguiente cambio de coordenadas:

MATH

Como antes, este cambio de coordenadas corresponde a un cambio de base para . Así pues, existe una base en en la cual la forma tiene el aspecto

Según (9) es una forma cuadrática (asociada a la matriz simétrica $B=(a_{ij}^{\ast})$ de orden $\ n-1$ ). Si esta forma es idénticamente nula el teorema está demostrado. De no ser nula podemos repetir el razonamiento anterior mediante cambio de las coordenadas no cambiando $\beta_{1}$ . Esto corresponderá a cambiar la base dejando siempre fijo el vector $x_{1}.$ Es calro que al cabo de un número finito de pasos se llega a la forma deseada.\