SEDE BOGOTA

formas canonicas

Lección 2.

Forma CanÓnica Triangular

Proposición 5. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio de dimensión finita $n\geq 1$ . Supóngase que el polinomio mínimo de es de la forma

donde $a_{i}\in K$ son valores diferentes, $1\leq r_{i}\leq n$ , $1\leq i\leq k$ , $1\leq k\leq n.$ Si $W\neq V$ es un subespacio invariante, entonces existe un vector $u\in V$ tal que $u\notin W$ y $(T-aI_V)(u)\in W$ , para algún valor propio de

Demostración. Sea un vector cualquiera de de $V\,\backslash \,W$ . Sea $q_{v}(x)$ el generador del . Entonces, $q_{v}(x)$ divide al polinomio mínimo $q_{T}(x)$ , de donde , $q_{v}(x)$ es de la forma

donde , $1\leq i\leq k.$ No es posible que que cada $s_{i}$ sea nulo, ya que de lo contrario $q_{v}(x)=1$ , y entonces , en contra de lo supuesto. Supongamos pues que $s_{1}\geq 1$ , entonces donde $h(x)\in K[x]$ es de grado inferior al grado de $q_{v}(x)$ . Esto implica que $u=h(T)(v)\notin W.$ También, Puesto que $a_{1}\in K$ es una raíz del polinomio mínimo , entonces $a_{1}$ es un valor propio de (véase la Proposición 2 ) $\Box$